А.Ф.Лосев. ИСТОРИЯ АНТИЧНОЙ ЭСТЕТИКИ. ИТОГИ ТЫСЯЧЕЛЕТНЕГО РАЗВИТИЯ. (95)

Во всем этом рассуждении Аристотеля о непрерывности заслуживает огромного интереса попытка Аристотеля понять континуум не глобально, но структурно. Только для этого и вводились у Аристотеля такие понятия, как "раздельно" и "вместе" или "следование" и "касание". Континуум изображен у Аристотеля структурно, хотя с первого взгляда никакой структуры нет ни во временном протекании, ни в глобальной внеположности пространства. На самом же деле эта глобальность тоже имеет свою структуру подобно тому, как куча песка бесформенна в сравнении с раздельными вещами, но на самом деле она тоже имеет свою форму, а именно форму кучи. Континуум – не просто пустое поле неизвестно чего. Тут есть и своя различимость, и свое следование различных точек, и своеобразный тип их соприкосновения. А иначе континуум не будет иметь никакой структуры.

Если читателю угодно найти у Аристотеля краткую формулу непрерывности, то вышеприведенное рассуждение из "Физики", (V 3) кратко, отчетливо и суммарно дается в том же трактате в другом месте (VI 1, 231a 20 – b 6).

В предыдущем мы исходили из тех рассуждений Аристотеля, в которых он конструирует свою непрерывность как разновидность единого. Но у Аристотеля имеется еще и такое рассуждение, где он рассматривает непрерывность как разновидность другой платоновской категории, а именно как разновидность беспредельности, апейрона. Это – в другом месте той же "Физики" (III 4 – 8).

Беспредельное, по Аристотелю, то, что может безо всякой остановки увеличиваться или уменьшаться. Но в таком виде беспредельность не может характеризовать собою всю картину действительности. Ведь беспредельность есть только материя, которая и на самом деле может быть и тем, и другим, и третьим, и вообще чем угодно, являясь, таким образом, только потенцией действительно существующего. Но действительно существующее есть также еще и форма; придающая вещам их определенность и совершенство, что и делает их целостными. Следовательно, беспредельное "скорее подходит под определение момента, чем целого, так как материя есть момент целого, как медь для медной статуи" (6, 207a 27 – 29). Но ведь космос, по Аристотелю, пространственно ограничен; он совершенен, целостен и в этом смысле вполне конечен (ИАЭ IV 270 – 273). Как же в таком случае совмещается в космосе беспредельное и предельное? На этот вопрос можно ответить только так, что граница космоса есть постоянная величина; а то, что находится внутри космоса, бесконечно стремится к этой границе, то есть может отстоять от нее на расстояние, меньшее любой заданной наперед величины. Другими словами, Аристотель тут тоже пророчествует о теории бесконечно малых и, значит, тем самым о континууме.

Наконец, вся упомянутая у нас сейчас VI книга "Физики" посвящена прямо доказательству того, что континуум нельзя составить из отдельных точек, будь то во времени, будь то в пространстве, будь то в движении.

В этой связи Аристотель дает сокрушительную критику всех попыток дробить непрерывность на отдельные прерывные отрезки, будь то апории Зенона, будь то атомизм Левкиппа и Демокрита. При этом подобного рода дискретные конструкции Аристотель понимает слишком буквально. Ведь из апорий Зенона именно вытекает требование о невозможности дробления континуума, а из атомизма Левкиппа и Демокрита вытекает требование о невозможности только одного дискретного представления о действительно существующем.

Между прочим, во многих отношениях аналогий к VI книге "Физики" может считаться трактат "О неделимых линиях", принадлежащий либо самому Аристотелю, либо кому-нибудь из его учеников15. Если миновать детали, то аргументация здесь сводится к следующему.

Именно, если две линии пересекаются, то для всех очевидно, что они пересекаются только в одной точке, принадлежащей одновременно обеим этим линиям. Но такое окончательное влияние двух предметов возможно только в том случае, если эти предметы не состоят из разных частей, поскольку предметы, состоящие из нескольких частей, и соприкасаются между собой не в одной, но во многих точках; и этих точек соприкосновения в данном случае столько, сколько имеется частей в соприкасающихся предметах. Значит, две линии могут пересекаться в одной точке только при условии их неделимости, то есть при условии их непрерывности. На наш взгляд, здесь мы находим тоже солидно обоснованное представление о континуально-сущностной природе даже такого простого геометрического элемента, как линия.

Такого рода континуально-сущностных рассуждений или намеков на них мы можем найти у Аристотеля немало. Здесь мы коснулись только главнейшего. Впрочем, для всей этой проблемы даже и не нужно искать специальных рассуждений у Аристотеля. Даже самые общие концепции Аристотеля немыслимы без континуально-сущностной интуиции. Таковы концепции умопостигаемой материи (ИАЭ IV 56 – 68), потенции, энергии и энтелехии (92 – 94), ставшей чтойности (94 – 95) и четырехпринципной структуры каждой вещи (599 – 603).

2. Назревание принципа континуально-сущностной эманации у представителей точных наук

а) Уже в школе Платона оказался один мыслитель, который выдвинул принцип, существенно дополнивший учение об идеях, если эти идеи понимать как полную неподвижность. Этот мыслитель – Евдокс Книдский (ок. 391 – 338 гг.), который в Платоновской Академии был временно, потому что сам он имел свою собственную школу гораздо более эмпирического направления. Об его фрагментах – ниже, часть шестая, глава II, §4, п. 2.

Евдокс ввел одну небывалую по своей математической точности концепцию, которую в Новое время (не очень удачно) стали называть "методом исчерпывания". Под "методом исчерпывания" нужно понимать в данном случае именно метод приближения к пределу на путях непрерывного становления, так что "исчерпывается" здесь именно предел становления, причем исчерпаться он никогда не может. Из предыдущего мы можем заключить, что это было идеей уже и элейца Зенона, уже и Демокрита, уже и Антифонта, уже и Платона. Но все эти мыслители, в общем, были весьма далеки один от другого. Что же касается Евдокса, то он, как бы мы сказали, был не больше и не меньше, как в школе самого Платона, почему его принцип континуального становления был прямым распространением и углублением платоновского учения об идеях и числах.

Евдокс тоже обратил внимание на то, что многоугольник, вписанный в круг или описанный вокруг него, по мере увеличения числа своих сторон все больше и больше приближается к кругу, хотя никогда и не может его достигнуть, так что разница между периметром многоугольника и данной окружности может стать меньше любой заданной величины. Точно так же объем цилиндра есть предельное выражение для бесконечно большого количества маленьких цилиндров, но в то же самое время объем конуса тоже составлен из бесконечно большого числа цилиндриков, когда эти цилиндрики, начиная снизу, постепенно уменьшаются и в своем объеме доходят до точки, образующей вершину конуса. Тот же самый процесс происходит при составлении пирамиды из бесконечно большого числа призм.

То же самое получается также и при разделении отрезка прямой на все меньшие и меньшие отрезки, которые, как бы они ни уменьшались, никогда не могут стать равными нулю. Это было тоже осознанием концепции, которую мы сейчас называем принципом бесконечно малых величин. Платоновскую систему идей и чисел этот принцип Евдокса решительно реформировал в том смысле, что идея вещи, или ее число, соотносилась с самой вещью не просто категориально, то есть в условиях неподвижности как идеи, или числа, так и вещи, но в условиях непрерывного растекания идеи, или числа, непрерывного становления этой идеальной области, непрерывного излияния идей и чисел в инобытии вплоть до возникновения вещей.

Такая концепция сущностного становления несомненно повлияла на Аристотеля, который, как мы знаем, тоже боролся с предполагаемой платоновской неподвижностью идей и чисел и на этом основании ввел, например, свое замечательное учение о потенции, энергии и энтелехии. Однако и Аристотель это континуально-сущностное становление все еще слишком близко связывает с самими идеями и числами и не рассматривает это становление как таковое в его чистом виде. На путях самостоятельного изучения такого текуче-сущностного становления, насколько можно судить, сыграли в античности большую роль представители точного знания, у которых принцип исчерпывания Евдокса как раз и получил большое развитие. Само собой разумеется, что это текуче-сущностное становление уже и Аристотель не мог не рассматривать в специальном виде. Ему принадлежит специальный трактат "О возникновении и уничтожении". В этом трактате множество разного рода тонких наблюдений.

Однако наблюдения эти соответствуют нашей общей характеристике философии Аристотеля как дистинктивно-дескриптивного аналога платонизма.

б) Чтобы перейти к дальнейшему, нужно остановиться еще на одной идее Евдокса, которая имеет ближайшее отношение к теории континуума. Эта идея уже не чисто геометрическая, но общечисловая и даже общепонятийная. Это есть проблема пропорций в связи с континуумом. В этой сложной области мы не будем приводить всех первоисточников, поскольку они уже приведены в науке и достаточно обстоятельно обследованы16. Не будем касаться и подробностей этой сложной проблемы, а скажем только самое главное, и притом с нашей собственной интерпретацией.

Пропорция есть равенство отношений. Но что такое отношение? С первого взгляда кажется, что для отношения нужны соотносящиеся величины, а величины должны быть определены качественно или количественно. Но, судя по материалам Евдокса, дело здесь вовсе не в качествах и не в количествах. А если так, то Евдокса здесь интересует, очевидно, отношение только как логическая категория. А в этом смысле оно совершенно одинаково присутствует решительно везде. Ведь мы уже видели, как пропагандисты чистого и вполне изолированного единства, – и это уже начиная с самого Парменида, – требовали присутствия такого единого решительно во всем существующем, поскольку все существующее всегда есть нечто, и притом определенное нечто, то есть тем самым является и неделимым единым, как бы пестры и разнообразны ни были существующие вещи. Вот точно так же каждой вещи присуще и отношение ее к другим вещам, без которого эта вещь не могла бы быть ориентирована среди всех других вещей. Но если отношение одинаково присуще всем вещам, оно тем самым, следовательно, и непрерывно. Вещи только потому и могут мыслиться нами, что они отличаются одна от другой и сопоставимы одна с другой. А это и значит, что и природа и функционирование отношения возможны только в виде всеобщего континуума.

На этом основании Евдокс доказывал, что и пропорция возможна только потому, что существует континуум. Пропорция есть равенство отношений, и даже не просто равенство, но и вообще любая связь. Другими словами, если все действительно связано и представляет собою единораздельную цельность, то это возможно только потому, что эта цельность, будучи тем или иным единством отношений, совершенно непрерывно представлена во всех своих частях. А это значит, что здесь Евдокс демонстрирует общеантичную идею тождества нераздельного единства и бесконечно становящейся внутренней множественности этого единства. Именно так, надо думать, Евдокс опирает систему отношений на всеобщий континуум, а всеобщий континуум понимает как систему отношений.

Интересно отметить, что подобного рода сведения о пропорциях мы получаем из V книги "Элементов" Евклида, но анонимный схолиаст Евклида (Eucl. V, pars. 1, p. 211, 7 – 8; 213, 1 – 7 Heib. – Stam.) утверждает, что вся эта книга, возможно, принадлежит Евдоксу.

Если вернуться к методу исчерпывания Евдокса, но уже не для самого Евдокса, которого мы проанализировали, а для его последующих сторонников, то необходимо будет сказать о Евклиде и Архимеде.

Прежде чем расстаться с Евдоксом, мы хотели бы обратить внимание на образцовое издание его фрагментов, принадлежащих Ф.Лассерру. Здесь кроме античных свидетельств об Евдоксе (с. 3 – 11) и общих суждений об его учении в области философии (с. 12 – 14), астрономии (с. 15 – 18) и геометрии (с. 18 – 37) дается тщательный подбор собственных суждений Евдокса (с. 39 – 134). Наконец, это издание Ф.Лассерра необходимо высоко расценивать еще и потому, что все приводимые в нем фрагменты снабжены обширным и много дающим комментарием (с. 137 – 271).

в) Между прочим, такое тщательное издание фрагментов Евдокса, как издание Ф.Лассерра, интересно еще и тем, что дает возможность точно определить место бесконечно малых в мировоззрении Евдокса. Когда некоторые исследователи характеризуют бесконечно малые у Евдокса как то, что может стать меньше любой заданной величины, то подобного рода утверждение звучит совсем в стиле современного математического анализа, где такого рода определение действительно дается в чистом виде. Но такое абстрактное понимание бесконечно малого не существовало раньше Ньютона и Лейбница. Раньше это было только частичной характеристикой того или иного вполне конкретного и вполне специфического бытия. Так, например, точные категории математического анализа назревали у Николая Кузанского только в связи с его чисто теологическими представлениями. Точно так же невозможно и древним приписывать какой-нибудь инфинитезимализм в чистом виде. Ведь все наши предыдущие исследования были основаны на чисто телесном миропредставлении, на чисто физической интуиции живого тела. Поэтому и к своему представлению о бесконечно малом приближении древние приходили обязательно только в связи с основной телесной интуицией. Наблюдая живые тела, древние не могли сводить эти тела только на совокупность мертвых линий и фигур, хотя бы и чисто телесных. Эти телесные линии, фигуры и тела при всей своей скульптурной законченности рассматривались еще и как подвижные, живые и бурлящие, как властно зовущие сплошно и непрерывно переходить от одного их момента к другому. Такого рода величины становились тем, что мы сейчас называем иррациональными величинами. Но, во-первых, всякая такая иррациональность всегда мыслилась в античности как нечто зримо и телесно ощутимое; а во-вторых, также и те величины, которые мы сейчас называем иррациональными, тоже рассматривались древними в их живом смысловом потоке. Проще всего это видно хотя бы на диагонали квадрата, сторона которого равна 1. Ведь такая диагональ квадрата равняется корню квадратному из 2, причем сами древние прекрасно понимали, что такая диагональ квадрата несоизмерима со стороной квадрата, то есть не имеет с ней общей меры. Такой квадратный корень из 2 недостижим никакими вычислениями, а, тем не менее он вполне телесен и его можно видеть. Вот это и есть настоящее античное учение о бесконечно малом. Эта бесконечность ни при каких абсолютных вычислениях недостижима, но она телесна и ее можно видеть. Поэтому необходимо сказать, что бесконечно малое ни в какай мере не было в античности уничтожением исходной и вполне конечной телесной интуиции, а, наоборот, было только оживлением и бурлящим смысловым потоком все тех же единораздельных и скульптурных построений.

В этом отношении мы и считаем полезным изучение фрагментов, Евдокса. Свое учение о бесконечно малых приближениях и, следовательно, об иррациональности он иллюстрирует простейшими геометрическими построениями, в интуитивной телесности которых никто не может сомневаться.

Например, у него поднимается вопрос об удвоении куба (фрг. D 24 – 29). Чтобы читатель мог быстрее понять, в чем здесь дело, скажем, что если мы имеем исходный куб, ребро которого равняется 1, то ребро двойного по объему куба будет равняться корню кубическому из 2, то есть величине в полном смысле иррациональной. Как же так? И исходный куб и двойной по объему куб одинаково есть тела видимые или представляемые, и тем не менее ребро удвоенного куба почему-то вдруг оказалось иррациональной величиной, достигнуть которую невозможно ни при каком количестве приближений.