Меню
Назад » »

А.Ф.Лосев. ИСТОРИЯ АНТИЧНОЙ ЭСТЕТИКИ. ИТОГИ ТЫСЯЧЕЛЕТНЕГО РАЗВИТИЯ. (94)

С.Я.Лурье в своей очень интересной и ученой книге (эта книга была названа у нас выше), прекрасно понимая, что все существующее делимо до бесконечности, приписывает Демокриту такой взгляд, что атом вполне делим до бесконечности, если этот атом понимать физически, и совершенно неделим, если его понимать математически. Однако этот автор забывает, что и всякая вообще вещь, поскольку она есть нечто, тоже неделима: дом можно перестраивать сколько угодно, но он есть все-таки нечто одно на такой-то улице, и с таким-то номером, и принадлежащее такому-то владельцу. Можно прямо сказать, что Демокрит вовсе не в этом смысле говорил о неделимости атомов. Атом действительно неделим, как и всякая вещь вообще. Но Демокрит понимает его как результат дробления вещи. Поэтому он неделим в смысле того предела, к которому стремится уменьшающаяся вещь. Физически он тоже делим, поскольку делимость всегда бесконечна. Но как идея, как смысл полученного результата деления, он вполне неделим. Вот это понятие предела и является свидетельством того, что атомисты обязательно мыслили бесконечное деление вещей, но с сохранением каждого результата этого деления в качестве цельной неделимости. Любопытно, что и сам С.Я.Лурье вовсе не чужд понятия предела в обрисовке атомистической теории. Он пишет9: "И уже Демокриту должна была принадлежать своеобразная примитивная "теория пределов", дававшая возможность перебросить мост между формулами недоступного чувствам и формулами чувственного мира". Но можно только пожалеть, что С.Я.Лурье так мало разработал эту атомистическую теорию пределов. Правда, теория эта скорее является нашим выводом из теории Демокрита, чем прямой формулировкой первоисточников. Но как ни квалифицировать теорию пределов у греческих атомистов, она там все же была. И потому можно считать вполне доказанным наличие у греческих атомистов принципа непрерывного и сплошного, континуального становления, несмотря на четкую, единораздельную и геометрическую фигурность атома.

Такое понимание инфинитезимализма было проведено нами выше в своем месте (ИАЭ I 435 – 436). В изложении С.Я.Лурье очень трудно добиться ясного представления о том, что такое античный атом. Но, повторяем, в книге этого автора очень много ценных, хотя и разбросанных, античных текстов, говорящих на тему о континуальном становлении как и о приближении переменной величины к ее пределу. Таковы, например, важные тексты, углубляющие наше представление об Архимеде, Евклиде и Евдоксе10.

В итоге необходимо признать, что инфинитезимальная значимость античного атома вполне доказана в нашей современной науке о греческих атомистах. Мы только настаиваем на том, что без понятия предела античный атом является малопонятным и исторически ненужным понятием. Больше того. Поскольку у Демокрита мы не находим никаких точных определений и никаких формул, то весь античный атомизм можно считать только отдаленной мечтой и отдаленным пророчеством новоевропейского учения о бесконечно малых. А если это так, то античный атом можно считать даже некоторого родаинтегралом, поскольку этот атом есть не что иное, как предел суммы бесконечно малых приращений (или уменьшений).

С.Я.Лурье, затративший столько времени на поиски теории бесконечно малых у греческих атомистов, удивительным образом совершенно обходится без понятия предела. И метод исчерпывания у Евдокса, и метод исчерпывания у Евклида и Архимеда11 С.Я.Лурье ухитряется излагать без всякого намека на теорию предела.

Поэтому не только основной труд С.Я.Лурье, о котором мы говорили выше, но и его книга об Архимеде страдает одним принципиальным недостатком, а именно неясностью конечных выводов. Интересно, что у С.Я.Лурье имеется даже целая глава, проводящая аналогию с нашей современной математикой и, в частности, с учением о кратных интегралах. Но, во-первых, здесь тоже нет ни слова ни о пределе суммы бесконечно малых приращений, ни вообще о пределе. Во-вторых, сам же С.Я.Лурье аннулирует свою аналогию атома Демокрита с двукратным интегралом следующими словами: "Но эта аналогия не полная и не очень плодотворная"12. У С.Я.Лурье имеется также целая глава о значении Архимеда в истории математики13.

Но в этой главе излагаются взгляды многочисленных ученых, древних и новых, по этому вопросу; а как сам автор расценивает это значение, остается неизвестным.

Наконец, относительно понятия предела нельзя возражать указанием на отсутствие соответствующего термина у Евдокса, Демокрита, Евклида или Архимеда. Ведь термин "бесконечно малое" тоже отсутствует у этих мыслителей.

И тем не менее С.Я.Лурье считает должным ввести этот термин даже в заглавие своей книги. Нужно твердо помнить, что все эти инфинитезимальные представления вовсе не содержатся у названных мыслителей буквально. Их мы домысливаем только сами же, чтобы уяснить сущность дела. Если же угодно гоняться даже и за терминами, то тогда придется считать основателем античного инфинитезимализма вовсе не этих мыслителей, но Платона.

д) Подлинным основателем учения о бесконечно малых и о континууме является Платон, который сейчас и будет нами обсуждаться. Но справедливость заставляет сказать, что было еще одно имя периода Сократа и Платона, с которым необходимо связывать раннюю и не философскую, не критическую, а еще только чисто фактическую эпоху античного учения о континуальном приближении к пределу. Именно, был софист Антифонт, который, между прочим, выступает у Ксенофонта среди собеседников Сократа. У этого Антифонта, как гласят очевиднейшие источники (B 13D), прямо имеется рассуждение о совпадении с окружностью круга, вписанного в этот круг многоугольника при достаточно большом увеличении числа его сторон. Едва ли тут было какое-нибудь философское обоснование учения о бесконечно малых. Вероятно, это было у Антифонта покамест еще примитивным и только чисто математическим соображением. Чисто философская проблема в этой области в отчетливой форме ставится только у Платона.

е) Принцип континуального становления не в математической, но в принципиально философской форме в яснейшем виде установлен Платоном. В "Тимее" (47e – 53c) мы находим учение о первичной материи (термин "материя" тут пока отсутствует), которая совершенно лишена всяких качеств и является сплошным и нераздельным становлением. А то, что такого рода становление формулируется Платоном и для мира идей, то есть для самого разума, это мы уже говорили выше (часть пятая, глава II, §4, п. 7).

В результате всего этого, если иметь в виду категориальную точность, то подлинным основателем античного учения о бесконечно малых необходимо считать, как сказано, не Анаксагора и не Демокрита, а именно Платона. Наконец, у Платона в "Филебе" (ИАЭ II 265 – 274, ср. также таблицу на с. 679) имеется даже и соответствующая терминология ("предел", "беспредельное" и "смешанное").

Здесь мы, однако, должны сказать, что платоновские термины "предел", "беспредельное" и "смешанное" нужно еще уметь расшифровать.

Именно, платоновский термин peras хотя и можно перевести как "предел", это вовсе не есть предел в нашем смысле слова. Мы понимаем под пределом какую-то такую постоянную величину, расстояние которой от той переменной величины, которая к ней приближается, может стать менее любой заданной величины. У Платона это, собственно говоря, не предел, но, скорее, "граница". В "Тимее" (55c) этот термин употребляется в рассуждениях о границе космоса, а в "Софисте" (252b) говорится о сведении элементов к ограниченному числу (eis peras). Но еще яснее этот платоновский термин выступает в "Пармениде", где прямо говорится, что "конец и начало образуют предел (peras) каждой вещи" (137d) и что предел (peras) есть то целое, что охватывает части (145a). Другими словами, обычный перевод данного платоновского термина как "предел" чрезвычайно неточен. Это даже и не есть просто "граница". Это такая граница, которая не только отделяет одну вещь от другой, но которая и внутри самой вещи отграничивает одну ее часть от другой части. Правильный перевод был бы "раздельность" или "расчлененность". И поэтому, когда мы приписываем Платону учение о математическом пределе, мы имеем в виду вовсе не термин peras, в котором нет никакого намека на такую переменную величину, которая бесконечно и непрерывно стремится к определенной постоянной величине, приближаясь к ней как угодно близко. Следовательно, наше понятие предела нужно связывать вовсе не с платоновским термином "предел", а с терминами "беспредельное" и "смешанное".

Это "беспредельное" не только квалифицируется у Платона как то, что противоположно раздельности ума и потому является "блуждающей" или "беспорядочной причиной" (Tim. 46e, 48a). В противоположность всегда самотождественному принципу это другой принцип, когда имеется в виду принцип "рассеянного в возникающих и бесконечно разнообразных вещах и превратившегося во множество" (Phileb. 15b) или просто "беспорядочность", ataxia (Tim. 30a). Яснее же всего об этой беспредельности говорится там, где удовольствие, в отличие от упорядоченного ума, трактуется как беспорядочное становление, в котором нет ни начала, ни середины, ни конца (Phileb. 31a). Таким образом, если мы говорим, что именно у Платона имеется учение о континуально-сплошном становлении, то самым ярким доказательством этого является платонический термин apeiron.

Но мало и этого. Дело в том, что так называемое "смешанное" уже по самому своему названию свидетельствует о наличии в нем как расчлененной единораздельной цельности, так и континуально-непрерывного становления. В данном случае речь идет у Платона, очевидно, о сплошном и непрерывном переходе одной части целого к другой его части, так что такое прерывно-непрерывное целое является уже пределом в современном математическом смысле слова, то есть пределом суммы бесконечно малых приращений, происходящих внутри того целого, частями которого они являются.

Итак, то, что именно Платон является в античности основателем терминологически зафиксированного учения о бесконечно малых, можно считать, доказанным.

ж) Ни Платону, ни Аристотелю не повезло в смысле признания за ними предчувствия теории бесконечно малых. Из Платона прежде всего излагают его учение об идеях, а из Аристотеля – прежде всего учение о форме и материи.

Но обыкновенно очень мало обращают внимания на то, что и у того и у другого мыслителя имеется весьма осязательная попытка мыслить бесконечно малое и связанное с этим учение о континуально-сущностном становлении, то есть о континууме.

Чтобы соблюсти параллелизм между Аристотелем и Платоном в данном вопросе, укажем на такие категории Аристотеля, как единое и беспредельное.

О едином у Аристотеля имеется обширное рассуждение в "Метафизике" (V 6). Кто проштудирует эту главу, тот убедится в правильности нашей характеристики Аристотеля как платоника, но только дистинктивно-дескриптивного характера. В этой главе даются очень тонкие дистинкции, которые даже трудно формулировать в систематическом виде. Непрерывность, как и у Парменида, трактуется здесь в качестве разновидности единого. Но в этом тексте (1016a 4 – 6) дается покамест еще слишком узкое определение непрерывности: "Название непрерывной дается той вещи, у которой движение, если ее взять как таковую, одно и иначе [чем одно] быть не может; движение же бывает одно у той вещи, у которой оно неделимо, при этом неделимо – во времени". Таким образом, непрерывность определяется здесь как такое единое, которое остается самим собою в движении вещи, когда движение этой вещи неделимо во времени.

Более подробное, но зато и более общее учение о непрерывности мы находим у Аристотеля в его "Физике" (V 3). Это учение можно изобразить при помощи следующей таблицы14.

Схема необходимых категорий, 
входящих в определение континуума у Аристотеля (Phys. V 3)

 

Эта таблица настолько ясна сама по себе, что едва ли требует пояснения. Однако это пояснение мы все-таки сделаем.

Именно, нужно взять какой-нибудь тип непрерывности. В предыдущей цитате из "Метафизики" определенно имелось в виду время. В настоящей же таблице мы имеем в виду другой тип континуума, а именно пространство. Но, собственно говоря, Аристотель имеет в виду вообще любую непрерывность, а для непрерывности необходимо как то, что именно непрерывно, так и тот процесс, в результате которого получается непрерывность. Поэтому непрерывностью является не только то или другое "место", о непрерывном появлении которого речь, но и сам процесс этого появления, то есть "изменение". Если иметь в виду пространственное положение, то отдельные его точки можно брать либо отдельно одна от другой, либо вместе. Но для процесса изменения необходимо брать раздельные точки. В таком случае, если эти точки раздельны, но погружены в процесс изменения, то необходимо признать и нечто промежуточное между ними, а также и следование одной точки за другой в данном изменении. Но при этом мало будет одного следования. Необходимо использовать еще другую категорию "места", а именно категорию "вместе", дающую в более развитом виде категорию "касание". Поэтому если объединить полученное нами следование с касанием, то возникнет "смежное". Однако и "смежное" тоже еще слишком раздельно. Надо, чтобы в этом смежном слились все границы, которые отделяют одно смежное от другого. Вот тогда-то и получится непрерывность.

Никто не решился оставить свой комментарий.
Будь-те первым, поделитесь мнением с остальными.
avatar