А.Ф.Лосев. ИСТОРИЯ АНТИЧНОЙ ЭСТЕТИКИ. ИТОГИ ТЫСЯЧЕЛЕТНЕГО РАЗВИТИЯ. (96)

Возьмем другой пример. Площади кругов относятся между собою как квадраты, построенные на их диаметрах (фрг. D 59). Но круг – это не только иррациональная величина. Его площадь вычисляется при помощи, величины "p", которая даже сложнее всякой иррациональности. И что же оказывается? Оказывается, что отношение этих сверхиррациональных площадей круга есть не что иное, как отношение квадратов, построенных на диаметрах этих кругов, а в этих квадратах ровно нет ничего иррационального или недостижимого, нет никакой непостигаемой бесконечности, которую необходимо было бы иметь в виду в представлении об этих квадратах.

Возьмем еще пример. Объем конуса равняется одной трети объема цилиндра с теми же основанием и высотой (фрг. D 62). Пересекая конус плоскостями, параллельными его основанию, мы, по мере приближения к вершине, будем получать все меньшие и меньшие окружности. И сколько бы мы их ни уменьшали, мы никогда не можем довести их до нуля. И только путем выхода из этого процесса становления, то есть только путем скачка, мы можем получить окружность, по своей площади равную нулю, то есть, оказаться в вершине конуса. Следовательно, конус тоже представим только при помощи бесконечно малого сближения рассекающих его окружностей, параллельных его основанию. Что же касается тезиса о равенстве конуса одной трети цилиндра с теми же основанием и высотой, то одна треть получается здесь потому, что пирамида имеет своим пределом конус, а призма имеет своим пределом цилиндр. Следовательно, и здесь принцип исчерпывания тоже играет главную роль. Также и из конуса, путем постепенного уменьшения угла при его вершине, мы в конце концов приходим к цилиндру, в котором образующие являются уже параллельными одна другой.

Итак, все обычные континуальные представления возникают у Евдокса всегда совместно с устойчивыми и четко расчлененными формами, как их всегда становящаяся и текуче-сущностная сторона. То же самое мы находим и у других представителей античного инфинитезимализма, обладавшего всегда интуитивной, если не прямо геометрической, то есть отчетливо выраженной, телесной структурой.

г) У Евклида (IV – III века до н.э.) в его знаменитых "Элементах" (Х, предложение 1) мы прямо читаем (Мордухай-Болтовской): "Для двух заданных неравных величин, если от большей отнимается больше половины и от остатка больше половины и это делается постоянно, то останется некоторая величина, которая будет меньше заданной меньшей величины". Ту же самую идею мы находим и в другом положении Евклида (XII 2), где говорится о недостижимости периметра окружности при любом увеличении количества сторон вписанного в него многоугольника. Спорить невозможно: здесь мы имеем яснейшее (но, правда, по преимуществу только интуитивное) определение того, что в современной математике называется теорией бесконечно малых. Тут только необходимо добавить, что было бы ошибочно считать этот принцип чуждым самому Евклиду на том основании, что Евклид занимается неподвижно кристаллизованными геометрическими образами. Такое резкое противопоставление античной геометрии, с одной стороны, и теории бесконечно малых, с другой стороны, совершенно чуждо античному представлению о числе. Евклид прекрасно разбирается в иррациональных величинах, умеет их определять как лишенные общей с рациональными величинами меры и созерцает их на своих вполне кристаллизованных геометрических фигурах.

И в самом деле, почему мы должны считать неантичным умение различать диагональ квадрата от стороны квадрата? А ведь мы уже сказали выше, что если сторону квадрата считать равной единице, то диагональ квадрата будет √2. И то, что подобного рода корень невыразим никаким рациональным отношением натуральных чисел, в этом тоже нет ничего ужасного. Поэтому теория бесконечно малых, как она представлялась Евклиду, нисколько не мешает его геометризму, а, наоборот, делает его насыщенным и полноценным.

Мы бы привлекли еще знаменитое имя Архимеда (III век до н.э.), который тоже был у самого порога учения о непрерывном становлении, хотя, по-видимому, и не перешагнул этого порога. В начале своего трактата "Исчисление песчинок" Архимед утверждает, что, какое бы количество песчинок ни заполняло космос (это количество он измеряет мириадами мириад), такое количество можно увеличивать до бесконечности. В скрытой форме тут тоже мыслится вышеприведенный тезис Евдокса Книдского, но Архимед в данном случае не входит в точный анализ этого предмета.

Однако в других своих сочинениях Архимед несомненно подходил к учению о бесконечно малых гораздо ближе. Так, в работе "О шаре и цилиндре" (I 6 Heib.-Stam.) Архимед ссылается на указанное у нас выше положение Евклида (XII 2), то с применением этого положения к соотношению цилиндра и шара. Та же самая идея проводилась у Архимеда и во вступлении к трактату "Квадратура параболы" (II 264, 5 – 26 Heib.-Stam.).

3. Общая схема развития учения о континууме накануне окончательных философских формулировок

а) Итак, после серьезного учета приведенных у нас материалов о континууме уже никто не может сомневаться в чрезвычайной важности самой категории континуума в течение решительно всей греческой классики и в значительной мере и в течение всего тысячелетнего периода. То, что в основе античной философии лежат чисто телесные интуиции, в настоящее время почти не вызывает никаких сомнений; а в последние два столетия (после Винкельмана), когда в античности выдвигалась на первый план скульптурность, такая исходная телесная интуиция признавалась еще больше. Но в эти же два последние столетия европейской науки почти совсем не говорили о большой значимости для античности чисто континуальных интуиций.

А ведь всякое физическое тело обязательно находится в пространстве, то есть всякая прерывно мыслимая величина обязательно требует для себя также и фона, который уже непрерывен, и требует присутствия целости вещи в каждой отдельной части этой целости, то есть непрерывность мыслится не только в виде фона, окружающего всякую вещь, но и в виде внутренней неделимости вещи, то есть и внутри вещи прерывность тоже требует для себя непрерывного охвата всего, что в ней дано прерывно.

Поэтому мы и считали бы, что античный континуум заслуживает в настоящее время весьма внимательного и специального изучения. Сейчас нам хотелось бы воспользоваться таблицей H.-J.Waschkies'a17, который попытался дать схему развития понятия континуума от Парменида до Аристотеля, то есть в течение того периода, который мы называем ранней и зрелой классикой. Изъяснению этой таблицы посвящена, собственно говоря, вся книга этого автора. Но мы дадим ее здесь (ниже, часть шестая, глава II, §4, п. 4) с той интерпретацией, которая нам представляется более удобной.

б) Если поставить вопрос о том, у кого впервые возникло понятие континуума и даже сам термин "континуум" (syneches), то это, конечно, будет не кто иной, как Парменид. От Парменида исходят три разных направления мысли с использованием этого понятия.

Первые два направления противоположны одно другому. Зенон (элейский) больше напирает на чистую непрерывность, которая дана у него то ли прямо в виде его общеизвестных апорий, то ли в виде объединения непрерывности с прерывностью, но все же с преобладанием непрерывности (фрг. B 2). С другой стороны, необходимо иметь в виду и вообще всех досократовских философов, которые в целях достижения целостного представления тоже стараются объединить непрерывное с прерывным, но уже с преобладанием прерывности.

Однако, если в этот ранний период греческой философии в одних случаях преобладала непрерывность, а в других – прерывность, то естественно ожидать, что в период классики были также и попытки представлять непрерывное и прерывное в их равновесии. Эту равновесную тенденцию мы и находим в диалектике Платона, что необходимо считать уже третьей линией развития исходного парменидовского учения.

Эту тройную тенденцию в развитии классического континуума необходимо представлять себе в яснейшей форме, чтобы вообще не запутаться в истории этой достаточно плохо изученной категории. И если тройная тенденция нам ясна, то спросим себя, как же она развивалась дальше.

в) Что касается первой тенденции, зеноновской, то на путях ее развития получается не что иное, как, во-первых, Анаксагор в тех случаях, где он не отрицает бесконечную делимость, но, наоборот, признает ее (откуда – Arist. Phys. III 4 – 8). Во-вторых, – и это тоже Анаксагор (A 45; B 3. 6), – бесконечная делимость совмещается с неделимостью каждого отдельного элемента, гомеомерии, который, как бы мы его далеко ни дробили, всегда остается самим собою. Но это совмещение неделимости и бесконечной делимости, как мы сказали, происходит в данном случае все еще с превышением делимости над неделимостью. И чтобы это совмещение получило конкретную картину и форму, для этого нужно было привлечь тот принцип бесконечно малого, который проповедовался Демокритом. Но тогда неделимое становилось пределом бесконечной делимости и возникала теория Евдокса Книдского.

Можно считать, что эта теория представлена в трактате аристотелевской школы "О неделимых линиях". А если к содержанию этого трактата привлечь те многочисленные дистинкции, которые содержатся в главе V 3 "Физики" Аристотеля, то мы получаем весьма тонкую дистинктивно-дескриптивную картину континуума, который одновременно и бесконечно делится и совершенно никак не делится, в аристотелевском трактате "О возникновении и уничтожении" (I 2. 6).

г) Что касается правого ответвления общего классического анализа континуума на нашей таблице, то кроме общеизвестных досократовских мыслителей можно привлечь еще текст из аристотелевской "Метафизики" (V 6), где развивается понятие единого при помощи анализа составляющих это единое элементов.

д) Далее, нужно сказать несколько слов и о средней линии нашей таблицы, то есть о Платоне. Если мы возьмем его диалог "Парменид", то при обсуждении своей второй гипотезы, то есть при изучении выводов не из единого самого по себе, но из единого существующего, мы получаем все категории умственного мира при полном равновесии континуальной и дискретной интуиции. Одно больше иного, одно меньше иного, но одно и иное обладают также и одной величиной. Одно раньше иного, и одно позже иного; но оба они также и совершенно одновременные. И это касается решительно всех логических категорий. Следовательно, вся система логических категорий и прерывна и непрерывна одновременно. Выше (часть шестая, глава II, §3, п. 2) мы уже отмечали, что в этом диалоге Платона имеется и прямая теория континуума, когда одна категория переходит в другую при помощи неуловимого момента, "внезапно".

е) Далее, фактическая история континуума не ограничивалась только указанными тремя тенденциями в развитии парменидовского принципа непрерывности.

Эти три разветвления в известных точках своего развития также и сливались в ту или иную оригинальную теорию. Так, мы уже видели, что Евдокс Книдский говорил о бесконечно малом приближении переменной величины к ее пределу. Но, очевидно, такая позиция не могла возникнуть только на зеноновском учении о необходимости совмещать делимость и неделимость. Эту становящуюся делимость Евдокс должен был позаимствовать еще из другого источника, каким в данном случае и явился Демокрит, но не в своем общем досократовском виде, а в виде автора теории постепенного приближения зубчатой линии к строгой прямой линии.

С другой стороны, и сам Евдокс не оказался в стороне от того описательного платонизма, который зафиксирован у Аристотеля в его "Топике" (IV 2), в результате чего, надо полагать, и возник трактат "О неделимых линиях".

Такую же яркую картину пересечения основных, парменидовских разветвлений мы находим и в том перечислении главнейших признаков континуума, которое имеется в аристократической "Физике" (V 3). Для этого нужно было привлечь, во-первых, то расчлененное представление о континууме, которое, несомненно, было уже в школе самого Платона наряду с железной диалектической категорией платоновского "Парменида". Но в целях дальнейшего уяснения понятия континуума очень важно было использовать различие касания и слияния, которое хотя и было у Платона, но в яснейшей форме было дано в аристотелевской "Топике" (IV 2). Если к этому присоединить описательную картину единства в аристотелевской "Метафизике" (V 6), то соединение этих трех источников вполне объясняет собою теорию континуума в "Физике" (V 3). А если к этому присоединить, как сказано, весьма строгую теорию цельности в трактате "О неделимых линиях", то отсюда нетрудно будет получить и то окончательное определение континуума, которое мы находим в период поздней классики.

После подчеркивания неделимой цельности и единства соприкасающихся элементов континуума в трактате "О возникновении и уничтожении" (I 2, 317a 20 – 22; 6, 322b 18 – 19), а также после введения принципа бесконечности в процессах континуального увеличения и уменьшения (Phys. III 4 – 8) мы и получаем то, что нам представляется окончательным определением континуума для периода античной классики (VI 1, 231a 20 – b 19).

ж) Дальше мы приводим таблицу для характеристики истории понятия континуума от Парменида и кончая Аристотелем. Но для правильного пользования этой таблицей мы предупреждаем, что ввиду разнобоя и многочисленности источников многое в этой таблице может быть по-разному интерпретировано и поэтому в разном смысле изменено. Однако непреложной истиной является то, что греческая мысль периода классики все время старается формулировать структуру континуума, выдвигая в ней то одни, то другие моменты. Так, для континуума необходима как раздельность его точек, без чего он не был бы протяжением, так и слияние этих точек в одной неразличимости. Но слияние это требует перехода от одной точки к другой, определенного следования одной точки за другой, постепенного сближения одной точки с другой, их нарастающего соприкосновения, когда эти точки, с одной стороны, никогда не могут слиться в одно единое (иначе весь континуум превратился бы только в одну точку), а с другой стороны, они обязательно сливаются в одну неделимость (поскольку иначе вместо континуума получилась бы только целая бесконечность дискретных одна в отношении другой точек). Континуум не имеет нигде ни начала, ни середины, ни конца (ибо иначе он был бы неотличим от счетного множества); но он также и имеет начало, середину и конец, и притом в любой своей точке (ибо иначе континуум был бы аструктурен, то есть был бы неизвестно чем и не был бы вполне упорядоченным множеством). Против этой линии развития континуума в античной классике спорить невозможно.

Что же касается соответствующей квалификации тех или иных весьма многочисленных исторических источников окончательной формулы континуума у Платона и Аристотеля, а также вопроса о том, где, когда и как эти источники переплетаются, об этом, само собой разумеется, можно бесконечно спорить ввиду недостаточной сохранности многих из этих источников.

Теперь приведем предлагаемую нами таблицу происхождения континуальной теории в период греческой классики.

Схема исторического развития континуального принципа 
от Парменида кончая Аристотелем

4. Стоики и другие школы

а) Как мы знаем, стоицизм развивался в эпоху философского выдвижения на первый план человеческого субъекта. И этот субъект стоики стремились характеризовать в его максимальном отличии от объекта, будь то платоновско-аристотелевская идея или будь то демокритовский атом. Такую специфику стоики нашли в человеческом слове, предметность которого была и не чисто мыслительная, и, одновременно, не чисто чувственная, но возникала она как раз на путях непрерывного становления чистой мысли, то есть на путях превращения ее в чувственный образ. И когда такая конструкция проецировалась вовне, то и вся объективная действительность стала пониматься как непрерывное материально-смысловое становление изначальной огненной пневмы, когда она превращалась во все живое и неживое и в конце концов создавала весь космос. А так как словесная предметность, отнесенная к объективной действительности, хорошо создавала ее рисунок, но не давала для нее абсолютного объяснения, то стоикам пришлось привлечь для этого старое представление о судьбе, конструируя его теперь уже как философскую категорию всеобъемлющей субстанции. И, наконец, синтезом этой объективно осуществленной словесной предметности и судьбы, субстанциально определяющей эту предметность, у стоиков явился логос (ИАЭ V 99 – 105, 114 – 121).