А.Ф.Лосев. ИСТОРИЯ АНТИЧНОЙ ЭСТЕТИКИ. ИТОГИ ТЫСЯЧЕЛЕТНЕГО РАЗВИТИЯ. (148)

4. Теоретико-числовые операции. Симметрия, включая золотое деление

Теоретико-числовые операции были у пифагорейцев самые разнообразные.

а) Простейшая арифметическая операция заключалась просто в интерпретации первых четырех чисел натурального ряда ввиду общепризнанного для всех пифагорейцев принципиального значения "тетрады", или "тетрактиды", то есть "четверицы". В самом деле, что такое отношение 2:1? Уже простейшее звуковое восприятие обнаруживало определенного рода повторяемость звуков, то есть определенного рода соотношение звуков. В тоне, который был на октаву выше основного тона, находили тот же самый основной тон, но только повторенный на большей высоте. Здесь само собой напрашивается соотношение 2:1.

Точно так же при переходе от 2 к 3 само собой возникало и переживание отношения 3:2, как и далее – отношение 4:3. Эти отношения в области первой четверицы были не только первичными и сами собой очевидными, но и наиболее истинными, наиболее красивыми. А так как слух требовал самой высокой гармонической оценки именно квинты и кварты, причем кварта явно была меньше квинты, то и получалось, что уже первичная четверица содержала в себе отношения и октавы, и кварты, и квинты. Тут уже не нужно было производить те или другие эксперименты. Тут нужно было исходить только из двух моментов, а именно, из чисто слуховой оценки музыкальных консонансов и из того абсолютного соотношения чисел, которые содержались уже в первичной тетрактиде. Эти две очевидности, музыкально-слышимая и числовым образом мыслимая, должны были во что бы то ни стало отождествляться. И это ровно без всяких научно поставленных экспериментов.

б) Приведем еще и другой способ теоретико-числового оперирования у пифагорейцев. Довольно подробное представление об этом можно найти у Птолемея24. Исходя из представления об октаве как об отношении 2:1 и беря подряд две квинты, получаем тон, который вовсе не давал никакого консонанса с исходным основным тоном. Из этого делали вывод, что и каждая квинта тоже не является консонансом в смысле 2:1. Следовательно, консонансы кварты и квинты в числовом отношении нужно было объяснять иначе, то есть не установлением кратных отношений, но установлением более сложных отношений. Рассуждали так: если число равно самому себе и в этом смысле вполне гармонично само с собою, то к этому числу надо прибавить или от него отнять некую цельную единицу, которая в данном случае трактовалась не просто в виде арифметической единицы, но в виде наличия или отсутствия какого-то еще постороннего элемента. Отсюда и получалось отношение  или  . В сравнении с октавой такого рода отношения тонов, конечно, расценивались значительно ниже, но это не мешало им фигурировать наряду с октавой. Теперь и спрашивали: что же такое квинта при таком новом соотношении тонов, если оставаться в пределах все той же первичной тетрактиды? Вот тут-то и получалось отношение для квинты  ; и для кварты  . Подтверждением этого являлось то обстоятельство, что при умножении 3/2 × 4/3 получалось именно 2/1, то есть 2. Заметим при этом, что речь шла у пифагорейцев именно о перемножении двух дробей, а не об их сложении, поскольку при их сложении получалась бы механическая последовательность интервалов, в то время как при их умножении обе дроби не остаются внешне противопоставленными, но повторяют и развивают одна другую.

Наконец, важно отметить еще и то, что при отношении 3/2 : 4/3 появляется еще новое отношение – 9/8. А это является числовым выражением целого тона. Сейчас мы увидим, что здесь появлялся еще новый оттенок музыкальной гармонии, который указывал уже на наличие здесь определенного рода симметрии.

в) Именно, если квинта отличается от кварты на один тон, то всю октаву можно представить себе как наличие двух кварт, которые отделены друг от друга целым тоном. Другими словами, посредине мы имеем целый тон как ось симметрии, а по бокам – равные одна другой кварты. Получается, таким образом, весьма отчетливая и вполне безупречная симметрия. Музыкальная октава мыслилась как точная числовая симметрия.

г) На основе пифагорейского теоретико-числового учения о гармонии формулировался еще один тип симметрии, в отличие от предыдущего типа который можно было бы назвать динамическим типом симметрии. Это – то, что впоследствии получило название золотого деления. В самой общей форме этот закон золотого деления гласил: величина, взятая вся целиком, так относится к своей большей части, как эта большая часть относится к меньшей части той же величины. Динамической эту симметрию мы назвали бы потому, что она формулирует постепенный переход от целого к части; и так как этих частей может быть сколько угодно, то ясно, что в порядке постепенности ими исчерпывается вся величина, взятая в целом, и исчерпывается путем постепенного перехода от большей части целого к его меньшей части.

Возьмем те числовые данные, которые, как мы видели выше, были установлены у пифагорейцев для кварты, квинты и октавы, а также и для целого тона. Если исходный тон принять за 1, то, как мы видели, октавой будет число 2. Если иметь в виду числовую характеристику квинты как 3:2, то мы получаем следующее вполне очевидное и убедительное равенство:

2 : 3/2 = 3/2 : 9/8

Это выражение, очевидно, гласит, что октава так относится к квинте, как квинта к целому тону. И поскольку тут имеется в виду отношение большей и меньшей части целого, то, очевидно, указанное выражение есть не что иное, как арифметическое, и, как увидим ниже, только арифметическое и больше ничего другого, выражение закона золотого деления.

То же самое мы получаем и для кварты:

2 : 4/3 = 4/3 : 8/9

Другими словами, октава тоже относится к кварте, как кварта к целому тону.

Здесь возможно сомнение, которое легко развеять. Могут сказать, что при сопоставлении этих двух форм золотого деления квинта вполне уравнивается кварте. Это, однако, вовсе не так. В данном случае кварта и квинта вовсе не уравниваются количественно, а уравнивается лишь их отношение к соседнему крайнему тону октавы. Эта форма гласит только то, что кварта и квинта возникают в октаве не как попало, но только в определенном месте октавы; и это место каждый раз соотносится с крайними тонами октавы тоже вполне определенным способом.

Другое сомнение возникает с первого взгляда потому, что последний член этих двух пропорций в первом случае является как 9/8, а в другом случае – как 8/9. Однако и здесь к приводимым числам нельзя относиться лишь количественно, но только в их отношении с обоими концами полной октавы. И если идти от одного конца, получается одно отношение, а если идти от другого конца, то получается, конечно, то же самое отношение, но только в обратном порядке, а именно, не 9/8, а 8/9, то есть в указанном смысле оба отношения совершенно тождественны.

д) Самое же главное, что нужно иметь в виду при рассмотрении указанных у нас выше двух пропорций с квартой и квинтой, – это то, что указанные пропорции исключительно только арифметические, а вовсе не музыкальные. Музыкальность мыслится здесь только весьма условно. Эти пропорции мы только для того и формулировали, чтобы использовать любимейшие пифагорейские интервалы кварты, квинты и октавы. Если же подойти к делу чисто музыкально, то с указанными выше двумя пропорциями придется либо предпринять некоторого рода допущения, либо просто расстаться.

Все дело заключается здесь в том, что указанные две пропорции, вполне точно выражая отношение между целой величиной, ее большей и ее меньшей частью, противоречат другому основному требованию золотого деления, а именно, сумма большей и меньшей части целого совсем не равняется в них всему целому. Если же мы захотели бы формулировать пропорцию действительно музыкальную, то пришлось бы, например, в случае с квинтой меньшею частью октавы считать не 9/8, но 2 : 2 = 1, то есть вовсе не тон, а половину октавы. Но музыкальный смысл половины октавы невыразим в целых числах. Она есть не что иное, как нечто весьма близкое к сексте, и, конечно, вовсе не сама секста. Но ни сексту, а также и ни увеличенную и ни уменьшенную сексту в античности вовсе не считали консонансом. Точно так же и расстояние между такой псевдосекстой и октавой равнялось бы терции, причем тоже не точной или, как говорят, не чистой. Но никакую терцию в античности тоже не считали консонансом. Это и приводило легко к тому, чтобы вместо уменьшенной сексты говорить просто о квинте, которая отличалась от уменьшенной сексты даже гораздо меньше, чем на тон. А мы уже знаем, как произвольно поступали пифагорейцы при математическом выражении своих экспериментальных данных. Они просто не считались с арифметической точностью, которую к тому же они и не могли выразить, а давали лишь приблизительную числовую квалификацию своих экспериментальных данных. Поэтому и предложенные нами две пропорции есть только насильственная попытка применить пифагорейские целочисленные операции к музыкальным тонам, чтобы хоть как-нибудь формулировать музыкальное применение закона золотого деления. Эти две наши арифметические пропорции вполне условны. Даже и число 2 мы сочли выражением октавы только в этом условном смысле.

5. То же. Три пропорции

Наконец, среди теоретико-числовых операций в области музыкальной гармонии у пифагорейцев имела место еще и теория трех пропорций. Ее совершенно точно формулировал Архит (47 B 2).

а) Первая пропорция, арифметическая, есть такое соотношение чисел, когда разница Между двумя числами одной пары равняется разнице чисел другой пары. Если октаву представить себе в виде 7 тоновых промежутков, а квинту – в виде четырех таких же промежутков, то получается такая ясная пропорция: 7 – 4 = 4 – 1. Это значит, что полная октава на столько же тонов превосходит квинту, на сколько сама квинта превосходит один тон.

б) Что касается геометрической пропорции, то и она характеризует собою в максимально очевидной форме тоже определенного рода числовые отношения. Именно, 2:1 = 4:2. Установлена пропорция 1 : 4/3 = 3/2 : 2. Другими словами, помещение двух кварт по бокам одного центрального тона числовым образом понималось как установление геометрической пропорции: во сколько раз кварта больше исходного тона, во столько же раз октава больше квинты. С подобного же рода пропорцией мы встречались при обсуждении закона золотого деления, почему и нужно понимать золотое деление как разновидность геометрической пропорции. Конечно, если пользоваться первичной тетрактидой, то само собой была ясной и пропорция 2:1 = 4:2. Но в таком виде геометрическая пропорция была малоинтересна, потому что уже заранее было известно, что если консонанс является отношением октавы к основному тону, то консонансом было также и отношение двойной октавы к ординарной или ординарной к основному тону.

в) Наконец, Архит установил еще и так называемую гармоническую пропорцию. Она заключалась в том, что на какую часть первой величины вторая превосходила первую, на такую же часть третьей величины эта третья превосходила вторую. Или (a-b):(b-c) = a:c. Нетрудно сообразить, что здесь имелась в виду именно кварта, которая и получалась в результате установления такого рода пропорции – (2 – 4/3):(4/3 – 1) = 2:1. Итак, положение кварты в октаве понималось при помощи применения гармонической пропорции.

г) Можно поставить вопрос также и специально об эстетической сущности гармонической пропорции. Древние слишком увлекались теоретико-числовыми операциями и не находили нужным анализировать также еще и эстетическую сущность этих операций. Как нам представляется, речь тут шла, конечно, в первую очередь об отношении целого и частей, а также об отношении частей между собою внутри единого целого. И утверждалось, что гармоническая пропорция говорит о таком положении целого и частей, при котором мыслится одинаковость отношения двух каких-нибудь частей к своему положению относительно третьей части. Части целого различны между собою, но это различие не настолько велико, чтобы делать все эти части абсолютно дискретными одна в отношении другой. Такое отношение одной части к другой было не только определенной величиной, но оно обязательно было связано также и со всякой третьей частью. Гармоническая пропорция только и говорила у древних о таком различии частей и целого, когда эти части везде сохраняют свое определенное структурное положение в системе целого. Но при таком нашем понимании гармонической пропорции последняя получает, конечно, самую высокую эстетическую значимость.

6. Принцип гармонического генологизма

Мы просмотрели пифагорейские приемы мыслить музыкальную гармонию при помощи теоретико-числовых методов. Уже в самом начале этого раздела мы предупреждали читателя о том, что теоретико-числовые операции расцениваются пифагорейцами как необходимейший априоризм, который трактуется как самоочевидный и как не требующий никаких для себя доказательств. Сейчас мы убедимся в том, что свои теоретико-числовые операции пифагорейцы действительно применяют не только весьма упорно, но часто даже и без всякой опоры на реальную действительность. В настоящий момент, поскольку нам придется формулировать еще несколько других типов этого априоризма, необходимо все-таки добиться полной ясности в этом трудном вопросе: почему так упорно и часто, даже насильственно, пифагорейцы применяли везде и всюду свою музыкальную гармонию и в чем можно было бы находить разгадку этого упорства?

а) Мы уже констатировали, что этот пифагорейский априоризм вырастал на почве обязательного учета чувственно-материальной основы всякой гармонии. Сейчас мы можем сказать еще более определенно. Дело в том, что в пифагорействе, как и вообще в античной мысли, исходным принципом всегда была интуиция чувственно-материальной вещи. Эта вещь, из каких бы частей она ни состояла и какими бы качествами она ни отличалась, всегда трактовалась как нечто абсолютно единое, как нечто единичное, как такой носитель всех своих качеств, который всегда пребывает самим собою и неделим ни на какие свои отдельные качества и в котором, следовательно, все качества вещи совпадают до полной нераздельности. Поэтому, как бы ни отличалась, например, зрительная сторона вещи от ее слухового восприятия, все это, зримое в вещи и все это слышимое в ней всегда и обязательно нерушимо и повелительно должно было трактоваться как нечто единое и нераздельное, как нечто тождественное. Термин "единое", как мы знаем (об этом у нас ИАЭ VII, кн. 2, с. 115 – 162, целое исследование), был весьма популярен во всей античной философии; и, в частности, он применялся как раз для того, чтобы представить все стороны вещи и все ее качества как нечто единичное и нераздельное. Поэтому не будет ошибкой, если мы этот пифагорейский принцип совпадения всех сторон вещи в одной ее неделимой единичности так и назовем принципом гармонического генологизма (hen – "единое").